मिलिन्द भांडारकर

शोधयंत्राचा शोध - भाग १ शोधयंत्राचा शोध - भाग २ - इतिहास शोधयंत्राचा शोध - भाग ४ -आल्टाव्हिस्टा आणि संचारक शोधयंत्राचा शोध - भाग ५ - सूचिकार शोधयंत्राचा शोध - भाग ६ - दर्शनी भाग शोधयंत्राचा शोध - भाग ७ - पुन्हा इतिहास शोधयंत्राचा शोध - भाग ८ - इंकटुमी

शब्दभांडार

ज्या भाषेत काळानुरूप नवीन शब्दांची निर्मिती होत नाही, ती भाषा मृत समजावी. मराठी भाषेत विज्ञान, तंत्रज्ञान, अर्थशास्त्र, किंवा जागतिक राजकारणाविषयी बोलण्याविषयी बरेच शब्द अपुरे पडतात. ती उणीव भरून काढण्यासाठी या प्रकल्पाचे प्रयोजन केले आहे. हा प्रकल्प सर्वांसाठी खुला आहे. विकीपीडिया या प्रसिद्ध स्थळावरती वापरण्यात आलेली मुक्तस्त्रोत आज्ञावली, मीडियाविकी, त्यात वापरण्यात आली आहे. आम्ही आपणा सर्व मराठी भाषाप्रेमींना विनंती करतो, की ह्या शब्दभांडारात नवनवीन संकल्पनांसाठी नवनवीन शब्दांची भर टाकून त्याची उपयुक्तता वाढवावी. स्वत:च नाही तर आपल्या मित्रपरिवाराला देखील याविषयी सांगून त्याची सदस्यसंख्या वाढवा. हे नवीन शब्द सुरुवातीला जरा अवघड किंवा अनैसर्गिक वाटतील, परंतु त्यांचा वापर मराठी ब्लॉगाकार, मनोगती, आणि मायबोलीकरांनी नियमीत सुरू केला की ते नेहमीचेच वाटायला लागतील. शब्दभांडार मी सध्यातरी माझ्या खाजगी संकेतस्थळावर सुरू केला आहे. समजा हा प्रकल्प लोकप्रिय झाला, तर त्याचे स्वत:चे वेगळे स्थळ तयार करूयात. पण ती पुढची गोष्ट झाली. सध्या ह्या शब्दसंग्रहातील शब्दांची संख्या वाढवून तो उपयुक्त करणे हे आपले उद्दिष्ट आहे. "http://thebhandarkars.com/shabdabhandar/index.php?title=Main_Page" मधून घेतले आहे

मराठी संकेतस्थळांविषयी तक्रार

सर्किट शुक्र, १६/०६/२००६ - ०८:१६. |[१] | ३५७ वाचने धोरण | विचार स्वत:च्या भाषेत लिहावे, बोलावे, असे कुणाला वाटत नाही ? महाजालाच्या या युगात स्वत:चे लिखाण प्रकाशित करणे तर खूपच सोपे झाले आहे. तुम्ही हे वाचताहात यावरूनच याचा प्रत्यय येईल. सध्या तर मी माझ्या महाजाल न्याहाळण्यापैकी (web-browsing) ७०% वेळ हा मराठी वाचण्यात घालवतो. मनोगत, मायबोली, मराठीब्लॉग्ज.नेट अशा नेहमीच्या वाचनातील स्थळे असोत, सकाळ, महाराष्ट्र टाईम्स, लोकमत अशी वृत्तपत्रे किंवा सांगलीच्या डॉ. रानडे यांच्या ज्ञानदीप फाउंडेशन ची संकेतस्थळे असोत (त्यांचे vidnyan.net हे स्थळ अवश्य बघा). “माझी मायबोली आज माहेरा आली”, अशी भावना माझ्या मनात तेव्हा असते. मराठीला महाजालावर तिचे योग्य ते स्थान प्राप्त करून देण्यात या स्थळांनी महत्वाची भूमिका बजावली आहे.

माझा महाजालावरचा १७ वर्षांचा वावर आहे. इ.स. २००० च्या सुमारास काही स्थळांनी मराठी वापरायला सुरुवात केली. तेव्हाच्या महाजाल तंत्रज्ञानात आणि आजच्या तंत्रज्ञानात जमीन अस्मानचा फरक आहे. तेव्हा त्यांना अक्षरचित्रावली (font), अक्षरपद्धती (encoding) ठरवण्यापासून ते स्थळाची मांडणी (layout) ठरवण्यापर्यंत सगळे काही करावे लागले. त्याकाळी अस्तित्वात असलेली परंतु फारशी प्रसिद्ध नसलेली युनिकोड ही अक्षरपद्धती आता वर्चस्व गाजवीत आहे. मुख्यत: त्यातली UTF-8 ही अक्षरपद्धती तर सर्वमान्य झाली आहे. (जाव्हा ही लोकप्रिय आज्ञाभाषा - programming language - जरी UTF-16 ही अक्षरपद्धती वापरत असली तरी UTF-8 मध्ये लिहिलेले कसे वाचावे हे त्यात अंतर्भूत आहे.) मुख्य म्हणजे ज्या जुन्या आज्ञावलींना युनिकोडचा गंधही नव्हता त्यांना देखील UTF-8 चे ASCII संस्करण वाचता येते. (कारण या दोन अक्षरपद्धतीतली पहिली १२७ अक्षरे सारखी आहेत, आणि जुन्या आज्ञावली या १२७ अक्षरांचाच वापर करीत होत्या.) युनिकोडमुळे सर्व भाषांतील सर्व अक्षरांना स्वत:ची एक संख्या मिळाली. युनिकोड अक्षर पद्धती समजणाऱ्या आज्ञावलींमध्ये (त्यात न्याहाळक - browsers - ही येतात) इंग्रजी आणि मराठी अक्षरे - आणि अशाच अनेक लिपी - सहजत: एकत्र बघता येतात. केवळ मराठीच नाही, तर भारतातील आणि जगातील सगळ्या लिपी त्यात अंतर्भूत आहेत. संगणकाला तुम्ही कुठल्या लिपीत लिहिताय याची वेगळी काळजी घ्यावी लागत नाही. त्याला कुंजीफलकाकडून (keyboard) एक संख्या मिळते आणि ते त्याच्या स्मृतीत साठवतो, आणि चुंबकीय तबकडीवर (hard-disk) मुद्रित करतो.

परंतु कुंजीफलकावर ५०-६० कळींमधून जगातल्या सर्व लिपींमधल्या खुणा कशा कळवणार संगणकाला? प्रत्येक खुणेला वेगळी कळ दाबावी लागली तर ६५५३६ कुंजींचा फलक असावा लागेल प्रत्येक संगणकाला. ते तर शक्य नाही. म्हणून संगणक आज्ञायकांनी ( computer programmers), अशी युक्ती शोधून काढली की नेहमीच्या कुंजीफलकातील ५०-६० कळाच कुठल्याही लिपीतील सगळी चिन्हे संगणकाला सांगू शकतील. म्हणजे मराठी लिहिताना (खरं तर देवनागरी लिपी लिहिताना) तुम्ही K ही कळ दाबली तर संगणकावरील सध्याच्या वापरिकेला (Application) कळावे की ह्या व्यक्तीला देवनागरी ‘ख’ लिहायचा आहे. ही युक्ती आज्ञावलीच्या स्वरूपात कुंजीफलक आणि वापरिकेच्या मध्ये बसते आणि कळांचे अनुवाद वापरिकेला सांगते युनिकोडमध्ये. याला म्हणतात टंकन विधिका संपादक (Input method editor). हा टविस (संक्षिप्त रूप) एकदा तुमच्या संगणकात स्थापित केला, की तुम्हाला त्या लिपीत लिहिता येते. देवनागरी, गुजराती, कन्नड, तामिळ, मलयालम अशा भारतीय लिपींसाठी मायक्रोसॉफ्ट विंडोज वर वराह डायरेक्ट (baraha direct) असा टविस उपल्बध आहे. तो चकटफू आणि वापरायला सोपा देखील आहे. माझ्या घरच्या आणि कार्यालयातल्या विंडोज संगणकांवर मी तो बऱ्याच दिवसांपासून वापरतो आहे. आणि मी त्यावर फारच खूष आहे. तो मुक्त स्त्रोत करून इतर लोकांना नेहमीच उपलब्ध करून द्यावा या विचाराचा मी आहे. खरं तर मायक्रोसॉफ्टला जर भारतात त्यांचा जम बसवायचा असेल तर त्यांनीच तो टविस त्यांच्या विंडोजमध्ये अंतर्भूत करावा.

तशी विंडोजची मला इतर अनेक कारणांसाठी घृणा वाटते. त्यामुळे मी मुख्यत: अॅपलचा मॅक (किंवा लिनक्स) वापरतो. त्यात तर त्यांचा स्वत:चा टविस अंतर्भूत आहे. आणि देवनागरी अक्षरचित्रे देखील त्यांनी मोनोटाईप ह्या संस्थेची “devnagari MT” ही वापरली आहे. त्या अक्षरचित्रावलीत सर्वात जास्त जोडाक्षरचित्रे (glyphs) आहेत. अॅपलचा टविस वापरायला वराह पेक्षा जास्त सोपा आहे. त्यामुळे मला देवनागरी लिहिणे जास्त सोपे जाते. पण माझा अनुभव सांगण्यात लेखाच्या मूळ मुद्याकडे दुर्लक्ष होते आहे, म्हणून मी ते आवरते घेतो.

देवनागरीसाठी सोपा टविस नसल्यामुळे बऱ्याच संकेतस्थळांनी स्वत:च कृती करण्याचे ठरवले. माझ्या माहितीप्रमाणे मायबोलीने याची सुरुवात केली. युनिकोडच्या लोकप्रियतेच्या आधी हे संकेतस्थळ जन्माला आले, त्यामुळे त्यांना स्वत:चे प्रमाण (standard) ठरवता आले. परंतु त्याचा तोटा असा झाला की त्यांच्याकडे त्यांच्या अक्षरपद्धतीत लिहिलेले चिकार लेख जमा झाले जे कुठल्याही प्रमाणिकृत (standardized) न्याहाळकात (browser) नीट दिसत नाहीत. त्यामुळे मायबोलीवरच्या बऱ्याच लेखकांनी मनोगतला संक्रमण केले. मनोगतकारांनी एक चांगले केले की सुरुवातीपासून UTF-8 ची कास धरली. त्यामुळे गूगल, किंवा याहू या शोधयंत्रात मनोगत असे लिहिले तर त्यांचे स्थळ पहिल्या पानावरच्या शोधनिकालांत दिसते. मायबोलीला तो फायदा मिळत नाही. परंतु मनोगतकारांनी जावास्क्रिप्ट वापरून स्वत:ची टविस विकसित केली. त्यात आणि वराह मध्ये क्षुद्र का होईना, पण फरक आहेत, आणि त्यामुळे मला मनोगत वर लिखाण करणे थोडे कठीण जाते. देवनागरीत लिखाण करणे सोपे जावे ह्या काही संकेतस्थळांच्या भावनेतून त्यांनी स्वत:चे टविस विकसित केले, पण त्यांच्या कुंजीफलकांचे अनुवाद वेगवेगळे केले. त्यामुळे एकात ‘T’ लिहिला की ‘त’ येतो, आणि दुसऱ्यात ‘ट’. त्यामुळे जितकी मराठी संकेतस्थळे बघावीत तितके कुंजनुवाद (key-mappings). ही माझी या सगळ्या स्थळांविषयी तक्रार आहे. मी मुळात २४-तास जालयुगातच असल्याने मी काही तरी करून या स्थळांत माझे योगदान देऊ शकतो. पण संगणक-निरक्षरांचे (computer illiterate) काय? एक संगणक, एक टविस अशी सोय या स्थलांनी करायला हवी. (खरं तर एक कार्यकारी आज्ञावली - operating system - एक टविस अशी सोय हवी.) ही माझी मराठी संकेत स्थळांविषयी तक्रार आहे.

तुम्हाला काय वाटते ?

(ता. क. या लेखात वापरलेले सर्व मराठी प्रतिशब्द शब्दभांडारात उपलब्ध आहेत. योगदान द्या.)

मला आवडलेल्या सिद्धता - पूर्वार्ध

[२] मीराताई फाटकांच्या अनंताच्या लीलामृताच्या लेखांत त्यांनी कॅन्टरच्या कर्ण पद्धतीबद्दल (Diagonalization Method) सांगितले आहे. ही सिद्धता पद्धती क्रमविरुद्ध सिद्धतेचा (Reductio Ad Absurdum) एक प्रकार आहे. आपण त्याला विरोधाभासजनक सिद्धता (Proof by Contradiction) देखील म्हणतो.

या सिद्धता पद्धतीबद्दल थोडक्यात सांगायचे झाले, तर आपल्याला जे विधान सिद्ध करायचे आहे, त्याच्या विरुद्ध विधान गृहित धरायचे. आणि त्यापासून तर्काच्या सहाय्याने, आणि इतर खऱ्या मानलेल्या गृहीतकांच्या आधारे, विरोधाभास निर्माण होतो असे दाखवायचे. याचा अर्थ मूळ विधानाच्या उलटे विधान चूक आहे, म्हणजे मूळ विधान बरोबर आहे हे सिद्ध होते.

खालील उदाहरणांवरुन ह्या पद्धतीचा वापर स्पष्ट होईल.

कँटरची नैसर्गिक संख्या आणि वास्तव संख्यांच्या संचांची गणसंख्या वेगवेगळे अनंत आहेत हे सिद्ध करणारी कर्ण सिद्धता मी पहिल्यांदाच मीराताईंच्या लेखात वाचली. मला ती खूप आवडली. समोरच्या एका दगडातून मूर्तीकाराने फक्त एक छन्नी आणि हातोड्यातून आपल्या डोळ्यासमोर सुंदर मूर्ती घडवावी, असे ती सिद्धता वाचताना वाटले. त्यावरून विचार केला, की आपण आजवर इतक्या सिद्धता वाचल्या, त्यात अशा उचंबळून आणणाऱ्या सिद्धता कोणत्या ?

थोडा विचार करता जाणवले, की मला सर्वोत्कृष्ट वाटणाऱ्या तीनही सिद्धता ह्या विरोधाभासजनक सिद्धता आहेत. कोणत्या ते सांगतो.

१. मूळ संख्यांचा (Prime Numbers) संच हा अनंत संच आहे. २. (दोनचे वर्गमूळ) ही अपरिमेय संख्या (Irrational Number) आहे. ३. संगणकात अशी कुठलीही आज्ञावली बनवणे शक्य नाही, की जी आज्ञावली कुठल्याही आज्ञावलीच्या वर्तणुकीविषयी अचूक निदान करू शकेल.

वरीलपैकी तिसऱ्या समस्येला हाल्टिंग प्रॉब्लेम अशी संज्ञा आहेत. ह्या समस्येचे खूप दूरव्यापी परिणाम आहेत. (हल्लीच मॅट्रिक्स ह्या चित्रपटाचे रसग्रहण मनोगतावर होतेय. त्या पूर्ण संकल्पनेला खोडून काढणारे हे प्रमेय आहे.) असो, त्याविषयी उत्तरार्धात बोलू.

तर पहिल्या सिद्धतेकडे वळू.

१. मूळ संख्यांचा (Prime Numbers) संच हा अनंत संच आहे.

हे आपल्याला सिद्ध करायचे आहे. विरोधाभासजनक सिद्धतेचा अवलंब केल्यास, पहिली पायरी म्हणजे त्याच्या विरुद्ध विधान खरे समजायचे.

म्हणजे,

समजा मूळ संख्यांचा संच हा अनंत संच नाही, म्हणजेच सांत संच आहे. याचा अर्थ असा की एक अशी मूळ संख्या आहे की जी त्या संचातली सर्वात मोठी संख्या आहे. ह्या संख्येला आपण 'मn' म्हणू. आपण खरे मानलेल्या विधानानुसार 'मn' पेक्षा मोठी मूळ संख्या अस्तित्वात नाही. आता आपण एक अशी संख्या तयार करूया, की जी मूळ संख्यांच्या संचातील सर्व संख्यांचा गुणाकारापेक्षा १ ने जास्त असेल.

म्हणजे हा संच {म0, म1, म2, म3, म4, म5, ..., मn} असेल, तर आपली नवीन संख्या 'प' ही

प = म0* म1 * म2 * म3 *म4 * म5 ... * मn + १

अशी असेल.

आता प विषयी विचार करा. प ही मूळ संख्या आहे का ? म0 ते मn ह्या कुठल्याही संख्येने तिला पूर्ण भागता येत नाही. कारण नेहमी १ उरतोच. म्हणजेच एकतर प ही मूळ संख्या आहे किंवा प चे सर्व मूळ भाजक मn पेक्षा मोठे आहेत. प ही मn पेक्षा मोठी असल्यामुळे दोन्ही परीस्थितीत आपल्याला मn पेक्षा मोठी संख्या सापडते, हे स्पष्ट आहे.

आपण सुरुवात केली होती 'मn पेक्षा मोठी मूळ संख्या अस्तित्वात नाही' ह्या विधानाने, आणि त्यावरून प ही मn पेक्षा मोठी संख्या अस्तित्वात आहे हे सिद्ध झाले. म्हणजे हा विरोधाभास निर्माण झाला. याचाच अर्थ हे विधान चुकीचे असले पाहिजे. म्हणजे सर्वात मोठी मूळ संख्या असणे शक्य नाही, याचाच अर्थ मूळ संख्यांचा संच हा अनंत संच आहे.

आता दुसरी सिद्धता:

२. (दोनचे वर्गमूळ) ही अपरिमेय संख्या (Irrational Number) आहे.

अपरिमेय संख्या म्हणजे जी संख्या अ/ब (अ आणि ब ह्या दोन्ही नैसर्गिक संख्या) अशी मांडता येत नाही. याच्या उलट म्हणजे परिमेय संख्या, ज्या अशा नैसर्गिक संख्यांचा भागाकाराने मांडता येतात. (उदा. दोन तृतियांश).

विरोधाभास पद्धतीने ही सिद्धता किती मनमोहक होते, बघा.

जे सिद्ध करायचे आहे, त्याच्या उलटे विधान गृहित धरायचे. म्हणजे, (दोनचे वर्गमूळ) ही परिमेय संख्या (Rational number) आहे.

याचाच अर्थ ही संख्या अ/ब अशी लिहिता येईल (अ, आणि ब ह्या दोन्ही नैसर्गिक संख्या आहेत.) आणि अ आणि ब ह्या संख्याना साधारण विभाजक नाही. (म्हणजे अ आणि ब चा महत्तम साधारण विभाजक हा १ आहे.)

= अ/ब

आता दोन्ही बाजूंचा वर्ग करू, म्हणजे

२ = अ2/ब2 अ2 = २ * ब2

अ2 ही सम संख्या असली पाहिजे, कारण २*ब2 ही सम संख्या आहे. म्हणजेच अ देखील सम संख्या असली पाहिजे, कारण फक्त सम संख्यांचेच वर्ग सम असतात. अ ही संख्या सम असल्याने ती आपण २*क अशी लिहू शकतो आणि क ही देखील नैसर्गिक संख्या आहे. आता वरील समीकरणात अ च्या ऐवजी २*क टाकूया.

४*क2 = २*ब2 म्हणजेच २*क2 = ब2

म्हणजेच ब देखील सम संख्या आहे. आता, अ आणि ब दोन्ही संख्या सम असतील, तर त्यांचा महत्तम साधारण विभाजक २ असेल, आपण गृहीत धरल्याप्रमाणे १ नाही.

हा विरोधाभास निर्माण झाला, त्यामुळे आपण गृहीत धरलेले म्हणजे (दोनचे वर्गमूळ) ही परिमेय संख्या (Rational number) आहे" हे विधान चुकीचे आहे. त्यामुळे (दोनचे वर्गमूळ) ही अपरिमेय संख्या (Irrational number) आहे" हे सिद्ध झाले.

(उत्तरार्धात तिसऱ्या क्रमांकाची सिद्धता देणार आहे. त्यासाठी थियरेटिकल संगणक विज्ञानातील संगणकाच्या संकल्पनेविषयी लिहावे लागेल, म्हणून पूर्ण लेखच त्यासाठी राखून ठेवला आहे.)

[वरील दोन सिद्धता मी शाळेत असताना गणिताच्या पुस्तकात वाचलेल्या आहेत. महाजालावर अनेक ठिकाणी, विशेषतः इंग्रजी विकीपीडियामध्ये त्या सहज सापडतील.]

मला आवडलेल्या सिद्धता - उत्तरार्ध

[३] सर्किट शुक्र, १५/१२/२००६ - ००:४०. » you can't post comments | | ३५४ वाचने लेख | तंत्र | शिक्षण ह्या लेखाच्या पूर्वार्धात आपण दोन प्रमेयांच्या मला आवडलेल्या सिद्धता वाचल्या. ह्या दोन्ही सिद्धता क्रमविरुद्ध पद्धती वापरून घडवल्या होत्या. मंडळी, वरवर सोप्या वाटणाऱ्या अशा प्रकारच्या सिद्धतांना बराच काळ गणितात स्थान द्यावे की नाही, ह्याबद्दल गणितज्ञांत मतभेद होते ! कारण गणिताच्या सुरुवातीच्या काळात, निर्माणप्रधान सिद्धतांना महत्त्व होते.

मुळात गणिताला लोकप्रिय करण्यात आपल्या संस्कृतीत ग्रह, तारे, नक्षत्रे कारणीभूत ठरले. याचे कारण शेतीसाठी आवश्यक असणारा पाऊस. याचे आगमन कधी होणार, हे कळण्यासाठी कालगणनेचे महत्त्व होते. आणि कालगणनेसाठी आकाशातल्या ग्रहगोलांचे महत्त्व होते. ह्याचे गणित म्हणजे भूमिती आणि त्रिकोणमिती (ट्रिगॉनॉमेट्री). अशा प्रकारच्या गणितात, निर्माणाला, आराखड्यांना महत्त्व. त्यावेळच्या गणितातील सिद्धता म्हणजे, फक्त एक सरळ काठी, आणि एक दोरी वापरून वर्तुळाच्या क्षेत्रफळाइतकेच क्षेत्रफळ असलेला चौरस काढता येतो, हे सिद्ध करा, अशा.

ग्रीक तत्त्वज्ञानी तेव्हा तर्क ह्या विषयावर विचार करीत होते. सर्व मानव मर्त्य आहेत, सॉक्रेटिस हा मानव आहे, याचा अर्थ सॉक्रेटिस मर्त्य आहे. हा विचार आता आपल्याला अगदी क्षुल्लक वाटतो, पण अशा विचारातून गणितातील सिद्धतांचा पाया रचला गेला.

ऍरिस्टॉटलने विरोधाभासजनक सिद्धतेचा विचार पहिल्यांदा मांडला असे म्हणण्यात येते. तो विचार तर्कशास्त्र्यांनी स्वीकार करायला खूप वेळ लावला. ती पद्धती गणितातील सिद्धतांची पद्धती म्हणून स्वीकृत होण्यासाठी, तर्कशास्त्र्यांनी दोन गृहीतके ठरवली, आणि त्या पद्धतीला तर्कशास्त्रीय आधार मिळाला. ही दोन गृहीतके म्हणजे:

१. कुठलेही विधान सत्य किंवा असत्य ह्यापैकी एकतरी असतेच (लॉ ऑफ एक्स्क्लूडेड मिडल, ह्याला आपण 'बाप-श्राद्ध नियम' म्हणू. बाप दाखव नाही तर श्राद्ध कर ह्या म्हणीवरून हे नाव घेतले आहे.).

२. कुठलेही विधान सत्य आणि असत्य दोन्हीही असू शकत नाही (लॉ ऑफ नॉन-कॉन्ट्रॅडिक्शन, त्याला आपण 'ग्वाडा-चतुर नियम' म्हणू. - एकपे रैना, एकतो ग्वाडा बोलना, नई तो चतुर बोलना, ये क्या रे ग्वाडा-चतुर? ह्या अजरामर ओळींवरून ह्या नियमाचे नाव घेतले आहे.).

ही दोन गृहीतके एकदा मानली, तर विरोधाभासजनक सिद्धता ह्या 'तर्कशास्त्रीय' दृष्टीकोनातून संमत होते.

असो, तर आता तिसऱ्या प्रमेयाची सिद्धता पाहू या.

३. संगणकात अशी कुठलीही आज्ञावली बनवणे शक्य नाही, की जी आज्ञावली कुठल्याही आज्ञावलीच्या वर्तणुकीविषयी अचूक निदान करू शकेल.

१९३६ मध्ये ऍलन ट्युरिंग ह्या ब्रिटिश गणितीने हे प्रमेय मांडले, त्याची ही सिद्धता. पण एक मिनिट ! रीवाईंड ! एनियाक हा पहिला संगणक तर १९४६ साली बनवला गेला ! मग त्याच्या आधीच संगणकाने काय करता येते आणि काय नाही, ह्या वर लेख प्रकाशित झाले होते ? मंडळी, ही आपल्या गणिताची पुण्याई ! (मनोगतावरील एका विशिष्ट लोकप्रिय शैलीचा प्रस्तुत लेखकावरचा प्रभाव तो नाकारत नाहीये :-)

अर्थातच ऍलन ट्यूरिंगने संगणक (कॉम्प्यूटर) किंवा आज्ञावली (प्रोग्राम) हे शब्द त्या शोधनिबंधात वापरले नव्हते. ते शब्द नंतर आले. त्याच्या मूळ शोधनिबंधाचे शीर्षक होते 'गणनीय संख्यांविषयी' (ऑन कॉम्प्युटेबल नंबर्स). या शोधनिबंधात, त्याने संख्यांचे कुठले क्रम गणनीय आहेत आणि कुठले नाहीत, ह्याविषयी लिहिले होते. पण हे क्रम गणनीय आहेत की नाही, हे कसे ठरवायचे? ह्यासाठी त्याने 'ट्युरिंग यंत्र (मशीन)' ही संकल्पना मांडली.

हे ट्युरिंग यंत्र म्हणजे काय ते आपण समजवून घेऊ. ह्या यंत्राला वाचायला किंवा लिहायला एक मोठी फीत दिलेली आहे. (सिनेमाची ३५मिमीची फीत पाहिली आहे का आपण ? अगदी तशीच, पण त्यावर प्रत्येक चौकटीत काय लिहिले आहे, हे ह्या यंत्राला वाचता येते, आणि त्यावर लिहिताही येते.) ह्या यंत्राला स्वत:चा एक रंग असतो. सध्या त्याचा कुठला रंग आहे, आणि ह्या फीतीवरच्या सध्याच्या चौकटीत काय लिहिले आहे, त्यानुसार ते यंत्र स्वत:चा रंग बदलू शकते, सध्याच्या चौकटीत काहीतरी लिहू शकते, आणि फीतीला पुढच्या किंवा मागच्या चौकटीत सरकवू शकते. (उदा. सध्या लाल रंग असेल, आणि चौकटीत १ लिहिले असेल, तर त्याचा रंग निळा होतो, सध्याच्या चौकटीत ० लिहितो, आणि पुढच्या चौकटीत जातो.) ह्या रंग बदलण्याच्या, लिहिण्याच्या, आणि पुढे मागे जाण्याच्या सूचनांचा संच म्हणजे आपल्या संगणकाची आज्ञावली.

अशा साध्या सोप्या यंत्राने, जगातील सगळ्या गणनीय संख्यांचे क्रम निर्माण करता येतात, असा सिद्धांत ट्युरिंग ने मांडला. त्याच्या एकच महिना आधी, म्हणजे एप्रिल १९३६ ला ऍलॉन्झो चर्च नावाच्या गणितज्ञाने दुसऱ्या पद्धतीने (लॅम्ब्डा कॅल्क्युलस वापरून) असाच एक सिद्धांत मांडला. हे दोन्ही सिद्धांत परस्परपूरक आहेत, असे मत स्टीफन क्लीन नावाच्या गणितज्ञाने १९४३ साली मांडले, आणि त्याला नाव दिले चर्च-ट्यूरिंग सिद्धांत (थेसिस). त्यानंतर गणितज्ञांनी ट्यूरिंग यंत्राला अधिक समृद्ध बनवले ते 'सार्वत्रिक ट्यूरिंग यंत्राची' संकल्पना बनवून. हे सार्वत्रिक यंत्र एखाद्या ट्यूरिंग यंत्राची आज्ञावली आणि त्याला दिलेले इनपुट दोन्ही त्या फीतीवरून वाचते, आणि त्या सूचनांची अंमलबजावणी करते.

हे सार्वत्रिक ट्यूरिंग यंत्र आणि आताचा आपल्याला परिचित असणारा संगणक ह्याच्यात आपल्याला खूप साम्य आढळेल. हा योगायोग नाही, मंडली, ही आमच्या ट्यूरिंग अण्णांची आणि चर्च बाबूजींची पुण्याई ! आजच्या संगणकाची आज्ञावली ० आणि १ ह्या अंकांतून बनलेली असते, आणि इनपुट देखील तसेच. (म्हणजे आज्ञावली देखील एक मोठ्ठी नैसर्गिक संख्याच आहेत, आणि इनपुट देखील) आणि संगणकाला ह्या दोन्ही गोष्टी मिळतात, तेव्हा तो त्या आज्ञावलीतील सूचनांची अंमलबजावणी करतो, दिलेले इनपुट चघळत.

असो, हा झाला थोडा इतिहास. आता आपण आपल्या मूळ प्रमेयाकडे वळूया.

ह्यासाठी आपण आज्ञावलींचा एक उपसंच निवडूया. ह्या संचातल्या आज्ञावली एकच अंक इनपुट म्हणून घेतात, आणि तो अंक चघळून एकतर थांबतात, किंवा अनंत काळपर्यंत सतत व्यस्तच राहतात.

आज्ञायकांना 'सतत व्यस्त राहणे' वरून 'इन्फिनीट लूप' आठवले असेल. ही आज्ञावली बघा. हिला 'अ' ही संख्या इनपुट म्हणून दिली आहे.:

जोवर अ ची किंमत २ आहे तोवर खालील कृती करा:

         अ = (अ + अ) / अ

आता ह्या सोप्या आज्ञावलीत २ ही संख्या अ म्हणून इनपुट दिली, तर अ ची किंमत नेहमीच २ राहणार, खरे ना ? म्हणजे ही आज्ञावली सतत व्यस्त राहील.

वरील प्रमेयाचे म्हणणे आहे, की अशी कुठलीही आज्ञावली बनवणे शक्य नाही, की जी दुसऱ्या एखाद्या आज्ञावलीला कुठले तरी इनपुट दिले असता, अचूकपणे सांगू शकेल, की दुसरी आज्ञावली हे इनपुट चघळून थांबणार की सतत व्यस्त राहणार.

चला, तर मग. आपली विरोधाभासजनक पद्धती वापरूया. म्हणजे काय खरे समजायचे ? आठवते आहे तर तुम्हाला.

समजा, अशी आज्ञावली बनवणे शक्य आहे. तिला आपण 'देव' म्हणूया. ह्या 'देव' आज्ञावलीला दोन इनपुट्स आहेत. 'मानव' नावाची एक आज्ञावली, आणि 'खाद्य' नावाचे दुसरे इनपुट. आणि 'देव' ही आज्ञावली अचूक सांगते की कुठलीही 'मानव' ही आज्ञावली कुठलेही 'खाद्य' इनपुट दिल्यावर थांबते ('देव' सांगते थां), की सतत व्यस्त राहते (देव सांगते 'व्य'). त्याला गणिती भाषेत लिहू या:

देव(मानव, खाद्य) = थां/व्य (मानव आणि खाद्य ह्यांच्या ठिकाणि कुठल्याही दोन संख्या टाका)

आता अशी आज्ञावली आहे असे गृहीत धरून आपण 'राक्षस' नावाची दुसरी आज्ञावली सहज बनवू. ही आज्ञावली फक्त एक इन्पुट घेईल, मानव असे:

राक्षस(मानव):

      'मानव'च्या दोन प्रती करा.
      'देव' ह्या आज्ञावलीला ह्यातील एक प्रत आज्ञावली म्हणून, तर दुसरी खाद्य म्हणून द्या.
       समजा देव(मानव, मानव) चे उत्तर 'थांबते' असे असेल, तर सतत व्यस्त रहा.

आता ह्या 'राक्षस' आज्ञावलीला इनपुट म्हणून 'राक्षस' च द्या आणि बघा काय होते ते.म्हणजे 'राक्षस' ही आज्ञावली ह्या इनपुटवर थांबते की सतत व्यस्त राहते ?

समजा राक्षस(राक्षस) थांबली, तर याचा अर्थ देव(राक्षस,राक्षस) चे उत्तर व्यस्त असे आले. पण देव(राक्षस,राक्षस) चे उत्तर व्यस्त कधी असेल ? समजा राक्षस ही आज्ञावली राक्षस ह्या इनपुटवर सतत व्यस्त राहत असेल तर. हा एक विरोधाभास.

समजा राक्षस(राक्षस) व्यस्त राहिली, तर याचा अर्थ देव(राक्षस,राक्षस) चे उत्तर 'थांबते' असे आले. हा दुसरा विरोधाभास.

याचाच अर्थ की 'राक्षस' ही आज्ञावली बनवणे शक्य नाही. याचाच अर्थ 'देव' ही आज्ञावली बनवणे शक्य नाही.

ही माझी तिसरी आवडती सिद्धता. आधीच्या दोन सिद्धता शाळेत असताना वाचल्या होत्या. ही तिसरी कॉलेजात असताना. पण ह्या तीनही सिद्धता वाचताना अंगावर सारखेच रोमांच उभे राहिले होते, हे आजही आठवते. अण्णांचा यमनकल्याण जसा अंगावर रोमांच उभा करतो तसेच.

[आधीच्या सिद्धतांसारखीच ही सिद्धतादेखील इंग्रजी विकीपीडियात Halting Problem ह्या सदरात सापडू शकेल.]

'प्रताधिकार मुक्तीची उद्घोषणा'

विकिकर गुरु, १२/१०/२००६ - ०१:०४. » you can't post comments | | १८३ वाचने प्रकटन | वावर मी खाली एक 'प्रताधिकार मुक्तीची उद्घोषणा' साचा सार्वजनिक उपयोगा करिता उपलब्ध करून देत आहे. काही सूचना,उद्घोषणा असतील तर जरूर नोंदवाव्यात.

-विकिकर

प्रताधिकार मुक्तीची उद्घोषणा,

"मी ( नाव: ।टोपण नाव: ) अशी उद्घोषणा करतो की ".........."ह्या शीर्षकांचे या ".... दुव्या "(...या स्रोतांत प्रकाशित) वरील संपूर्ण लेखन/छायाचित्र माझे मूळ लेखन आहे.त्याचा प्रताधिकार माझ्याकडे आहे. इथे नमूद केलेले हे लेखन (पर्याय- .....या संकेतस्थळा वरील माझे सर्व लेखन/छायाचित्र) मी सार्वजनिक हिताच्या दृष्टीने , बौद्धिक संपत्ती व प्रताधिकारातून मुक्त करत आहे.या नमूद लेखन/छायाचित्राचा उपयोग कुणीही,माझ्या कोणत्याही बंधना शिवाय,( कायद्यांची इतर बंधने असतीलतर,अशी व्यक्ती, स्व-जबाबदारीवर ) कोणत्याही स्वरूपात वापर सार्वजनिक स्वरूपात करू शकते.

नाव तारीख स्थळ

(टिप: इथे प्रताधिकार म्हणजे copyright & intellectual property right अभिप्रेत आहे.)

फारच उत्कृष्ट घोषणा आहे ही. जीपीएल सारखेच क्रिएटिव्ह कॉमन्सचे जे लायसन्स आहे त्याचे हे मराठी भाषांतर आहे का ?

असो. मी माझी घोषणा इथे लिहितोय.

मी मिलिन्द भांडारकर (मनोगतावरील सध्याचे टोपणनाव: सर्किट, पूर्वीची टोपणनावे: वैद्य, उद्धट, विनम्रट) अशी उद्घोषणा करतो की "अपहरण । शोधयंत्राचा शोध । गांधीजी आणि हुतात्मा भगतसिंग । मनोगतावरची आक्डेवारी । जाज्ज्वल्य कुक्कुटधर्माची प्रार्थना । आणि मी लिहिलेले इतर" ह्या शीर्षकांचे मनोगतावर प्रकाशित वरील संपूर्ण लेखन माझे मूळ लेखन आहे.त्याचा प्रताधिकार माझ्याकडे आहे. इथे नमूद केलेले हे लेखन मी सार्वजनिक हिताच्या दृष्टीने , बौद्धिक संपत्ती व प्रताधिकारातून मुक्त करत आहे.या नमूद लेखनाचा उपयोग कुणीही,माझ्या कोणत्याही बंधना शिवाय,( कायद्यांची इतर बंधने असतीलतर,अशी व्यक्ती, स्व-जबाबदारीवर ) कोणत्याही स्वरूपात वापर सार्वजनिक स्वरूपात करू शकते.

मला ह्यात खालील वाक्य टाकावेसे वाटते: माझ्या उपरिनिर्दिष्ट लेखनाचा जोवर धनप्राप्ती किंवा इतर कुठल्याही प्राप्तीसाठी उपयोग करण्यात येत नाही, तोवर त्या लेखनाचा फुकट उपयोग करण्यास माझी संमती आहे. त्या वापरातून वापर करणाऱ्या व्यक्तीला होणाऱ्या सामाजिक क्षतीचा (विशेषत: गांधीजींविषयीच्य लेखांमधून होणाऱ्या क्षतीचा) जिम्मेदार मी राहणार नाही. गांधीविरोधकांनी तुमच्यावर व्यक्तिगत हल्ले केल्यास माझ्याकडे बोट दाखवू नये.

- मिलिन्द[प्रे. सर्किट (गुरु, १२/१०/२००६ - ०२:२८) परफेक्ट ][४]

---